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有符号数与补码转换
前四课里，我们一直把寄存器当成装数字的盒子，加加减减、按位拨开关，看一切都岁月静好。但你有没有想过一个根本问题：寄存器里只有 0 和 1，CPU 上根本没有"负号"这个按钮——那 -5 到底是怎么存进去的？
这一课不学新指令，专门把这个最容易被忽略、却悄悄支配了前面所有加减法结果的问题讲透。谜底就一个词：补码（two's complement）。搞懂它，你才真正看懂了寄存器里那一串十六进制到底在说什么。
本系列基于 ARMv7（32 位版本）。这一课强烈建议在手边备一个"二进制 ↔ 十进制"换算工具，因为很多恍然大悟的瞬间都发生在你看清二进制的那一刻。
1. 朴素的尝试：原码，和它的两个尴尬
最直觉的方案是"原码"（sign-magnitude）——把最高位拿来当符号位：0 表示正数、1 表示负数，剩下的位直接写绝对值。比如用 4 位表示 +5 是 0101，-5 就是 1101（最高位翻成 1，低三位保持 101）。
听起来没毛病，可它有两个让人抓狂的坑：
第一，零有两个。0000 和 1000 一个是 +0、一个是 -0，明明是同一个数却有两种表示。光判断"是不是零"就得先比较两次，CPU 和程序员都得多干活。
第二，加减法不能用同一套电路。算 5 + (-5)，CPU 得先看符号位：同号才真做加法，异号就得转成减法再比绝对值——一套加法器、一套减法器，逻辑又绕又容易错。
这两个坑让早期计算机吃够了苦头，于是工程师们想出了补码。
2. 补码登场：同样的位，不一样的世界
补码的核心思想只有一句话：让负数以一种"和正数直接相加就自动得到正确结果"的方式存在。具体怎么造出一个负数的补码？规则简单到离谱——
取反，加一。
把 +5 写成 4 位：0101。先把每一位翻个面，得到 1010；再加 1，得到 1011。这个 1011 就是 -5 的补码。验证一下：0101 + 1011 = 1 0000，最高位的 1 溢出被丢掉，剩下的正好是 0000——你看，+5 加上它的补码表示自动归零，这就是补码的魔力。
图 1 · 同一个 4 位二进制，有符号和无符号两种解读：1000 在有符号下是最小的 -8，无符号下却是 8
这张表值得反复看。注意两个关键点：最高位是 1 的全是负数、是 0 的全是正数（零算正数那边）；同一个二进制串（比如 1000）在有符号和无符号两种解读下是完全不同的数。CPU 寄存器里存的从来只是一串位，它"是几"取决于你用哪条指令去读它。
3. 取反、加一：补码名字的由来
把 +5 变成 -5，完整流程是这样的：
图 2 · 取反、加一：把 +5 的二进制全位翻面，再加 1，就得到 -5 的补码
三步走：写出 +5 的 8 位二进制 0000 0101；全部取反得到 1111 1010（十六进制 0xFA）；再加 1 得到 1111 1011（十六进制 0xFB）。这个 0xFB 就是 -5 的补码表示。
关键性质：操作可逆。 想从
-5回到+5，还是同一招——取反、加一。把1111 1011取反得0000 0100，加 1 得0000 0101，正是+5。所以补码下"取负"是一套通用操作，正变负、负变正用同一条电路搞定。
这也解释了为什么前几课里 SUB（减法）在 ARM 内部根本不需要专门的减法器——CPU 只要先把减数取反加一，再走一遍加法器就行了。加减法共用电路，这就是补码的工程价值，也是它名字"two's complement"（二的补数）的由来：对一个 N 位数，它的"取负"等价于用
4. 用 ARM 指令亲手验证
光说不练假把式。我们用第二、四课学过的 MVN（取反）和 ADD（加一）来亲手造一个 -5：
asm
mov r0, #5 @ R0 = 0x00000005（+5）
mvn r1, r0 @ R1 = 全位取反 = 0xFFFFFFFA
add r1, r1, #1 @ R1 = 0xFFFFFFFB（-5 的补码）单步走完这三行，R1 里赫然是 0xFFFFFFFB——和上一节手算的结果一字不差。高位的 6 个 F 就是取反时把 +5 高 24 位的 0 全翻成 1 的产物（第四课讲 MVN 时我们见过一模一样的现象，那会儿只是不知道这串 F 还和负数有关）。
要验证它真是 -5？反过来再走一遍：
asm
mvn r2, r1 @ R2 = ~0xFFFFFFFB = 0x00000004
add r2, r2, #1 @ R2 = 0x00000005（+5 回来了）取反加一之后 +5 原样返回——这就是补码可逆性的活证明。
注： ARM 其实有更直接的方式让汇编器帮你算补码：写
mvn r1, #4（对 4 取反）也能得到-5，因为4取反是...FB；但更推荐用伪指令mov r1, #-5，汇编器会自动把它翻译成正确的补码常量。这里手动取反加一，是为了让你看清机制。
5. 符号扩展：从小盒子搬进大盒子
寄存器是 32 位的，但内存里经常存的是 8 位（byte）或 16 位（halfword）的小数字。把一个 8 位的有符号数加载进 32 位寄存器，多出来的高位怎么填？这就是符号扩展（sign extension）要解决的问题。
规则一句话：用符号位填充所有新增的高位。正数（符号位 0）补 0，负数（符号位 1）补 1。
图 3 · 符号扩展：8 位的 -5 搬进 32 位，必须用符号位 1 填满新增的高 24 位，数值才不会变
8 位的 -5 是 0xFB。如果偷懒补 0（叫"零扩展"），结果 0x000000FB 被解读成 +251——符号丢了，数值完全错位。正确的做法是补 1，得到 0xFFFFFFFB，它仍然是 -5。
ARM 用两条不同的加载指令来区分这两种语义：第三课我们见过 LDR 加载 32 位字；加载 8 位时有 LDRB（零扩展，按无符号读）和 LDRSB（Signed，符号扩展，按有符号读）。带 S 的版本会自动用符号位填充高位，你不用操心。
易错点： 别以为"S"是第二课那个更新 CPSR 的 S 后缀——那里
S= Set flags，这里LDRSB里的S= Signed。同样是字母 S，含义完全不同，新手极易混淆。
6. 取值范围：负数为什么多一个
32 位有符号数的取值范围，是面试必背题：
- 最小值：
0x80000000= -2,147,483,648（约 -21 亿） - 最大值：
0x7FFFFFFF= +2,147,483,647（约 +21 亿）
图 4 · 32 位有符号数的取值范围：负数比正数多一个，最小负数取负会溢出
注意一个不对称的细节：负数比正数多一个。原因是零占了正数那半边（0x00000000 算"非负"），所以正数只有 0x80000000（即 -2147483648）取反加一得到它自己——理论上它的"正数对应物" +2147483648 在 32 位里根本存不下。所以这条指令
asm
mvn r0, #0x80000000 @ 试图对最小负数取反在数学上是没有意义的，CPU 算出来的结果还是 0x80000000 本身。这是补码一个绕不开的"角落"，写底层代码时尤其要小心。
7. 看到 0xFFFFFFFB，它到底是几？
这是初学者最常卡住的问题。答案是——CPU 不知道，取决于你用什么指令去读它。
图 5 · 同一个 0xFFFFFFFB，用有符号指令读是 -5，用无符号指令读是 4294967291——CPU 没有类型，类型在你脑子里
寄存器里的位是一串 0 和 1，它本身没有"类型"。是程序员脑子里的约定 + 选用的指令，赋予了它有符号或无符号的含义。比如做除法：SDIV（Signed divide）会把操作数当有符号数，0xFFFFFFFB ÷ 1 = -5；UDIV（Unsigned divide）会把同一串位当无符号数，结果是 4294967291。同一个寄存器、不同的指令，天差地别。
这就解释了为什么高级语言里"整数"要分 int 和 unsigned int——编译器记着这个约定，在生成机器码时帮你挑对应的指令。但一旦你直接写汇编，这个选择权就交到了你自己手上。
快速心算法。 看到一个形如
0xFFFF...开头的 32 位值，几乎可以确定是有符号负数。想快速知道它是负几？对它取反加一回正数，再加个负号即可：0xFFFFFFFB取反得0x00000004，加 1 得0x00000005，所以它是-5。熟练之后这步心算只要两秒。
小结
这一课没学新指令，但补码是理解前面所有加减法、以及后续条件分支的基石：
- 原码的坑：零有两个、加减法要分两套电路——这就是为什么计算机不用它
- 补码规则：取反、加一；可逆，正负转换用同一条电路
- 符号位：最高位是 0 为正、是 1 为负；但同一串位的有符号/无符号解读完全不同
- 符号扩展：小位数搬进大位数，用符号位填满新增高位；对应 ARM 的
LDRSB（S = Signed，不是 Set flags） - 取值范围：32 位有符号数约 ±21 亿，负数比正数多一个，最小负数取负会原地不动
- 类型在脑子里：CPU 不存类型，是
SDIV还是UDIV、是LDRSB还是LDRB决定了同一串位被读成几
补码看懂之后，第二课里那盏一直没说清的 V（溢出）标志终于有了清晰的判据：有符号运算超出 ±21 亿 的范围就溢出，V 置位。下一课，我们就拿着补码这块拼图，去解锁 ARM 最有魅力的能力——分支与条件执行，让 CPU 真正会做选择。下一课见。